Equação Modular

Sabe aquele eterno otimista que só vê o lado positivo das coisas?

O módulo é deste jeito.

Brincadeiras à parte, o módulo ou valor absoluto de um número real x é representado por |x|, que lemos: módulo de x.

Se x for um número real positivo o módulo de x será o próprio x.

Se x for um número real negativo o módulo de x será o oposto de x, ou seja, será -x, resultando portanto em um valor positivo.

Apenas sendo x igual a 0, o módulo de x também será 0.

Em resumo temos:

Embora não seja um conceito complexo, vamos ver alguns exemplos. Inicialmente vejamos exemplos bem simples:

Exemplo de Módulo de Números Reais

Módulo de um Número Real Positivo

|17|

Neste exemplo temos um número positivo, já que 17 > 0, então o |17| é igual ao próprio 17, pois , logo:

Módulo de um Número Real Negativo

|-17|

Neste outro exemplo temos um número negativo, já que -17 < 0, então o |-17| é igual ao oposto ou simétrico de -17, que é 17, pois :

Módulo de um Número Real Nulo

|0|

Como , então .

Ou por outro lado, como , então .

Agora vamos ver alguns exemplos um pouco mais complexos:

|x - 5|

Para obtermos o valor do |x - 5| precisamos identificar quando x - 5 ≤ 0 e quando x - 5 ≥ 0.

Ora, se x - 5 ≥ 0 então:

Logo para x ≥ 5 temos x - 5 ≥ 0, portanto segundo a definição do módulo temos:

Já para x ≤ 5 temos x - 5 ≤ 0, de onde concluímos que:

Resumindo temos:

Para finalizarmos os exemplos vamos analisar a sentença |x - 5| + |x - 2| para x ≤ 2, para x ≥ 5 e para 2 ≤ x ≤ 5:

|x - 5| + |x - 2| para x ≤ 2

Como temos x ≤ 2, então x - 2 ≤ 0, pois para ser maior que 0, seria necessário que x fosse maior que 2.

Analogamente temos x - 5 < 0, pois como x ≤ 2 o maior valor que podemos obter para x - 5 é -3.

Em função disto o |x - 5| será -(x - 5) e o |x - 2| será -(x - 2).

Então temos:

|x - 5| + |x - 2| para x ≥ 5

Neste outro exemplo como x ≥ 5, então x - 5 ≥ 0 e x - 2 > 0.

Então |x - 5| será x - 5 e o |x - 2| será x - 2.

O que resulta em:

|x - 5| + |x - 2| para 2 ≤ x ≤ 5

Neste último exemplo temos x - 5 ≤ 0, pois x pode ser no máximo ser igual a 5 e x - 2 ≥ 0, pois o valor mínimo de x é2.

Temos então que o |x - 5| será -(x - 5) e o |x - 2| será x - 2.

E portanto:

Propriedades do Módulo de Números Reais

Para quaisquer valores reais de x temos as seguintes propriedades:

Para a e b reais temos as seguintes propriedades:

 para 

Para 

Para 

Para 

Conceituando Geometricamente o Módulo de um Número Real

Em termos geométricos o módulo de um número real representa a distância deste número à origem de uma reta real.

Na reta desta figura o ponto 0 representa a suaOrigem. Cada ponto nesta reta é um número real.

Como podemos observar, 3 tanto é a distância do ponto -3 até a origem,quanto é a distância do ponto 3 também até a origem.

A distância dos pontos em questão é igual a 3 nos dois casos, não importando se o ponto está à direita ou à esquerda da origem. O valor absoluto ou módulo de -3 é igual a 3, assim como o módulo de 3 também o é.

Solucionando Equações Modulares no Conjunto dos Números Reais

Para encontrarmos os valores de x que tornam esta equação verdadeira, devemos eliminar o módulo e escrever duas equações. Na primeira o segundo membro será o oposto de 11 e na outra será o próprio número 11:

Em relação a estas duas equações não há o que pensar. -11 e 11 são solução da equação .

Se quisermos a resposta na forma de um conjunto, representando por S o conjunto solução, temos:

Solucionemos agora este exemplo não tão óbvio.

Assim como fizemos na caso anterior, vamos eliminar o módulo escrevendo duas equações, sendo que em uma delas inverteremos o sinal do segundo membro.

Basta, portanto, solucionarmos cada uma delas e começando pela primeira:

Para a segunda equação temos:

Portanto  e 4 são as soluções desta equação.

No exemplo anterior havíamos desmembrando a equação modular em duas equações afim, neste exemplo a desmembraremos em duas equações quadráticas:

Vamos solucionar a primeira:

Quais são os números que somados totalizam 6 e que multiplicados produzem 9?

Não há dúvida de que 3 + 3 = 6 e de que 3 ^. 3 = 9, então segundo as relações de Albert Girard o número 3 são as raízes desta equação.

Agora vamos solucionar a segunda equação:

Calculemos então o discriminante desta equação:

Agora recorrendo à fórmula geral de resolução da equação do segundo grau temos:

Finalmente temos o conjunto solução da equação :

Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiramente vamos substituir |x| por y e encontrarmos as raízes da equação:

O discriminante é igual a 25:

O que nos leva às seguintes raízes:

Como inicialmente havíamos trocado o |x| por y, devemos desfazer a troca.

Para :

Como podemos observar, não existe um x real cujo |x| seja igual a -2, pois o módulo de um número real nunca poderá resultar em um número negativo.

Para :

Logo o conjunto solução da equação :

Solucionarmos esta equação modular precisamos analisar quando  e quando .

Quando  então , logo  e portanto:

Quando  então , logo  e consequentemente:

Concluindo:

Como pudemos observar, cada tipo de equação pode necessitar de um artifício específico para a sua resolução, no entanto em todos os casos precisamos levar em consideração a definição de módulo.